已知数列满足
(
为常数,
)
(1)当时,求
;
(2)当时,求
的值;
(3)问:使恒成立的常数
是否存在?并证明你的结论.
(1) (2)
(3)存在常数
,使
恒成立.
解析试题分析:假设题型中,先假设存在,然后在该假设下根据题中的已知条件去求值或证明,如果最后可得到数值或证明,则说明存在,否则不存在;分类讨论.
(1)当时,根据已知条件
可判断出其符合等差数列的等差中项公式,所以知该数列是等差数列,此时根据题中所给的该数列的前两项,可求出公差,进而利用等差数列的通项公式
,求出通项
.
(2)该题只是给出了数列的前两项和一个递推公式,而此时如果求数列的通项会相当的繁琐,困难.观察题目会发现,要求的是当时的第
项,项数很大,所以猜想该数列的各项之间必然有一定的规律,故不妨列出数列的若干项观察规律,会发现该数列是一个周期为6的数列.有了初步判断之后,可以根据
,找到
,最终得到
,从而证明开始的猜想,然后根据
,可以得出结论
,进而求出
.
(3)首先假设存在,然后在该假设下根据题中的已知条件去求,如果最后可得到常数
,则说明存在,否则不存在.根据
①,可得
②;根据及
,可得
③; 将③带入②有
④,此时①④式子含有相同的项,所以1式减④式得
.分别讨论
或
是否成立,并最终形成结论.
(1)当时,根据题意可知
成立,显然该式符合等差数列的等差中项公式,
所以该数列是等差数列,根据题意首项为,公差为
,
根据差数列的通项公式可知
.
(2)根据题意列出该数列的一些项,如下:,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
我们发现该数列为一周期为6的数列.
事实上,根据题意可知,,则有
①
又因为有
②
将②带入①化简得③;
根据③式有,
所以说明该数列是周期为6的数列.
因为,所以
.
(3)假设存在常数,使
恒成立.
由①,可得
②,
及,可得
③
将③带入②有④
①式减④式得.
所以,或
.
当,
时,数列{
}为常数数列,显然不满足题意.
由得
,于是
,
即对于
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设数列的前n项和
,数列
满足
.
(1)若成等比数列,试求
的值;
(2)是否存在,使得数列
中存在某项
满足
(
)成等差数列?若存在,请指出符合题意的
的个数;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=15,且a3+1为a1+1和a7+1的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn;
(2)设Tn为数列{}的前n项和,问是否存在常数m,使Tn=m[
+
],若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定正整数,若项数为
的数列
满足:对任意的
,均有
(其中
),则称数列
为“Γ数列”.
(1)判断数列和
是否是“Γ数列”,并说明理由;
(2)若为“Γ数列”,求证:
对
恒成立;
(3)设是公差为
的无穷项等差数列,若对任意的正整数
,
均构成“Γ数列”,求的公差
.
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