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给出下列命题
①存在x∈(0,
π
2
)
,使sinx+cosx=
1
3

②存在区间(a,b),使y=cosx为减函数而sinx<0;
③y=tanx在其定义域内为增函数;
y=cos2x+sin(
π
2
-x)
既有最大值和最小值,又是偶函数;
y=sin|2x+
π
6
|
的最小正周期为π.
其中错误的命题为
①②③⑤
①②③⑤
(把所有符合要求的命题序号都填上)
分析:①由已知可得sinxcosx=-
4
9
<0,则当x∈(0,
1
2
π)
不符合题意;②结合正弦函数与余弦函数的图象可知,不存在区间使y=cosx为减函数而sinx<0;③y=tanx在区间(-
1
2
π+kπ,
1
2
π+kπ
),(k∈Z)上单调递增,但是在定义域内不是增函数;④y=cos2x+sin(
π
2
-x)
=cos2x+cosx=(cosx+
1
2
)
2
-
1
4
,可判断函数的最值的情况,及函数的奇偶性⑤结合函数的图象可知,y=sin|2x+
π
6
|
的最小正周期为
1
2
π.
解答:解:①若sinx+cosx=
1
3
,则有1+2sinxcosx=
1
9
,即sinxcosx=-
4
9
<0,则当x∈(0,
1
2
π)
不符合题意,故①错误
②结合正弦函数与余弦函数的图象可知,不存在区间使y=cosx为减函数而sinx<0;故②错误
③y=tanx在(-
1
2
π+kπ,
1
2
π+kπ
),k∈Z上单调递增,但是在定义域内不是增函数;故③错误
y=cos2x+sin(
π
2
-x)
=cos2x+cosx=(cosx+
1
2
)
2
-
1
4
,当cosx=-
1
2
时,函数有最小值,当cosx=1时,函数有最大值,从而可知函数既有最大值和最小值,又f(-x)=cos2(-x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x),可得函数是偶函数;故④正确
⑤结合函数的图象可知,y=sin|2x+
π
6
|
不是周期函数.故⑤错误
故答案为:①②③⑤
点评:本题主要考查了函数的性质的综合应用,解题的关键是熟练掌握函数的基本性质、常见的结论,并能灵活应用
练习册系列答案
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给出下列命题:
①“x=2”是“x2=4”的充分不必要条件;
②设A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若A∩B=∅,则实数t的取值范围为[3,+∞);
③若log2x+logx2≥2,则x>1;
④存在x,y∈R,使sin(x-y)=sinx-siny;
⑤若命题P:对任意的x∈R,函数y=cos(2x-
π
3
)
的递减区间为[kπ-
π
12
,kπ+
12
](k∈Z)
,命题q:存在x∈R,使tanx=1,则命题“p且q”是真命题.
其中真命题的序号为
①③④
①③④

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列命题:

①存在实数α,使sinαcosα=1;

②存在实数α,使sinα+cosα=;

③y=sin(-2x)是偶函数;

④x=是函数y=sin(2x+)的一条对称轴方程;

⑤若α、β是第一象限角,且α>β,则tanα>tanβ.其中正确命题的序号是_________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列命题:

①存在实数α,使sinα·cosα=1成立;

②存在实数α,使sinα+cosα=成立;

③函数y=sin(-2x)是偶函数;

④方程x=是函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴方程;

⑤若α、β是第一象限角,且α>β,则tanα>tanβ.

其中正确命题的序号是__________________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

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科目:高中数学 来源:2013-2014学年福建省福州市高三上学期期末质量检测理科数学试卷(解析版) 题型:填空题

给出下列命题:

①“x=一1是“x25x60的必要不充分条件;

②在△ABC中,已知;

③在边长为1的正方形ABCD内随机取一点MMA1的概率为于

④若命题p是::对任意的,都有sinx1,为:存在,使得sinx > 1.

其中所有真命题的序号是____

 

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