Question

【题目】已知函数f（x）=3x ， g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R． （Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；
（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h（4﹣x）=h（x）|x+a|=|4﹣x+a|恒成立a=﹣2；

（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，

①当0≤a＜3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；

②当a≥3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；

③﹣3≤a＜0时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；

④当a＜﹣3时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；

【解析】（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h（4﹣x）=h（x）|x+a|=|4﹣x+a|恒成立a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，

分①当0≤a＜3时；②当a≥3时；③﹣3≤a＜0时；④当a＜﹣3时，画出图象判断个数．

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．