Question

8．记函数y=ln（4-x）的定义域为P，不等式2^x（x-a）＜1的解集为Q．
（1）若a=3，求Q；
（2）若Q⊆P，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=3代入2^x（x-a）＜1，利用指数函数的单调性求出解集Q；
（2）由真数大于零求出函数y=ln（4-x）的定义域P，由指数函数的单调性和a是正数求出Q，由Q⊆P求出正数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=3时，不等式2^x（x-a）＜1为：2^x（x-3）＜1=2⁰，
所以x（x-3）＜0，解得0＜x＜3，
则Q={x|0＜x＜3}；
（2）由4-x＞0得x＜4，
所以函数y=ln（4-x）的定义域P={x|x＜4}，
由2^x（x-a）＜1=2⁰得，x（x-a）＜0，
因为a是正数，所以解集Q={x|0＜x＜a}，
因为Q⊆P，所以a≤4，
则正数a的取值范围是（0，4]．

点评 本题考查对数函数的定义域，利用指数函数的单调性解不等式，以及集合之间的关系，属于中档题．