Question

（理科做）过点A（6，1）作直线?与双曲线

x2

16

-

y2

4

=1相交于两点B、C，且A为线段BC的中点，求直线?的方程．

Answer 1

分析：依题意，记B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），可设直线l的方程为y=k（x-6）+1，代入双曲线方程，进而根据韦达定理得出x₁+x₂=

8k(1-6k)

1-4k2

，然后根据由A（6，1）是BC的中点得

1

2

(x1+x2) =6从而求出斜率k，即可求出方程．

解答：解：依题意，记B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
可设直线l的方程为y=k（x-6）+1，
代入

x2

16

-

y2

4

=1，整理得（1-4k²）x²-8k（1-6k）x+48k-144k²-20=0①
x₁，x₂则是方程①的两个不同的根，
所以1-4k²≠0，且x₁+x₂=

8k(1-6k)

1-4k2

，
由A（6，1）是BC的中点得

1

2

(x1+x2) =6，
∴4k（1-6k）=6（1-4k²），
解得k=

3

2

，
所以直线AB的方程为3x-2y-16=0

点评：本题考查直线与双曲线的综合运用以及中点坐标公式，解题的关键是将直线方程和双曲线方程联立并化简，属于中档题．