Question

15、如图，三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°．
（1）求证：V、A、B、C四点在同一球面上；
（2）过球心作一平面与底面内直线AB垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形斜边中点到三顶点距离相等，且直角三角形VAB和VBC有公共斜边．
（2）取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q，证明截面MNPQ是矩形．

解答：证明：（1）取VC的中点M，
∵VA⊥底面ABC，∠ABC=90°，
∴BC⊥VB．在Rt△VBC中，M为斜边VC的中点，
∴MB=MC=MV．同理，在Rt△VAC中，MA=MV=MC．
∴MV=MC=MA=MB．
∴V、A、B、C四点在同一圆面上，M是球心．
（2）取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q，
连接NP、PQ、QM、MN，则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V-ABC的截面，
易证PQMN是平行四边形．又VA⊥BC，QP∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN．故截面MNPQ是矩形．

点评：本题考查直角三角形斜边中点的性质，及取中点利用三角形中位线的性质的解题方法．