Question

如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：
（1）异面直线A₁B₁与CD₁所成的角为45°；
（2）D₁C⊥AC₁；
（3）在棱DC上存在一点E，使D₁E∥平面A₁BD，这个点为DC的中点；
（4）在棱AA₁上不存在点F，使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的．
其中正确的个数有

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：直接利用已知条件推出异面直线所成的角判断（1）的正误；通过直线与平面的位置关系判断（2）的正误；通过直线与平面的平行判断（3）的正误；几何体的体积判断（4）的正误即可．
解答：解：（1）由题意可知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，所以△DD₁C₁是等腰直角三角形，A₁B₁∥C₁D₁，异面直线A₁B₁与CD₁所成的角为45°，所以（1）正确．
（2）由题意可知，AD⊥平面DD₁C₁C，四边形DD₁C₁C是正方形，所以D₁C⊥DC₁，
可得D₁C⊥AC₁；（2）正确；
对于（3）在棱DC上存在一点E，使D₁E∥平面A₁BD，这个点为DC的中点，因为
DC=DD₁=2AD=2AB，如图HG，所以E为中点，正确．
（4）设AB=1，则棱柱的体积为：=，当F在A₁时，A₁-BCD的体积为：=，显然体积比为，所以在棱AA₁上存在点F，使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的，所以（4）不正确．
正确结果有（1）、（2）、（3）．
故选C．
点评：本题考查棱柱的结构特征，几何体的体积的求法，直线与平面的位置关系的判断，考查空间想象能力计算能力．