Question

已知点（）,过点作抛物线的切线，切点分别为、（其中）．
（Ⅰ）若，求与的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若以点为圆心的圆与直线相切，求圆的方程；
（Ⅲ）若直线的方程是，且以点为圆心的圆与直线相切，
求圆面积的最小值．

Answer 1

，． （Ⅱ）圆的面积为．
（Ⅲ）圆面积的最小值．

本试题主要考查了抛物线的的方程以及性质的运用。直线与圆的位置关系的运用。
中∵直线与曲线相切，且过点，∴，利用求根公式得到结论先求直线的方程，再利用点P到直线的距离为半径，从而得到圆的方程。
（3）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即，借助于函数的性质圆面积的最小值
（Ⅰ）由可得，．  ------1分
∵直线与曲线相切，且过点，∴，即，
∴，或， --------------------3分
同理可得：，或----------------4分
∵，∴，． -----------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，则的斜率，
∴直线的方程为：，又，
∴，即． -----------------7分
∵点到直线的距离即为圆的半径，即，--------------8分
故圆的面积为． --------------------9分
（Ⅲ）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即，   ………10分
∴
，
当且仅当，即，时取等号．
故圆面积的最小值．