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如图,在以点O为圆心,AB为直径的半圆中,D为半圆弧的中心,P为半圆弧上一点,且AB=4,∠POB=30°,双曲线C以A,B为焦点且经过点P.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求双曲线C的方程;
(2)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,若△OEF的面积不小于2
2
,求直线l的斜率的取值范围.
(1)方法一:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
则点A(-2,0),B(2,0),P(
3
,1)

设双曲线实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,
2a=|PA|-|PB|=
(2+
3
)
2
+12
-
(2-
3
)
2
+12
=2
2
,2c=|AB|=4.
所以a=
2
,c=2,从而b2=c2-a2=2.
故双曲线C的方程是
x2
2
-
y2
2
=1
…(6分)
方法二:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
则点A(-2,0),B(2,0),P(
3
,1)

设双曲线C的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)

a2+b2=4
(
3
)2
a2
-
1
b2
=1

解得a2=b2=2,故双曲线C的方程是
x2
2
-
y2
2
=1
.…(6分)
(2)据题意可设直线l的方程为y=kx+2,
代入双曲线C的方程得,x2-(kx+2)2=2,即(1-k2)x2-4kx-6=0.
因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,
1-k2≠0
△=(-4k)2+4×6(1-k2)>0
,即
k≠±1
-
3
<k<
3

设点E(x1,y1),F(x2,y2),
x1+x2=
4k
1-k2
x1x2=-
6
1-k2

所以|EF|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(1+k2)(x1-x2)2

=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
2
2
3-k2
|1-k2|

又原点O到直线l的距离d=
2
1+k2
.(11分)
所以S△DEF=
1
2
d•|EF|=
1
2
2
1+k2
1+k2
2
2
3-k2
|1-k2|
=
2
2
3-k2
|1-k2|

因为S△OEF≥2
2
,则
2
2
3-k2
|1-k2|
≥2
2
?k4-k2-2≤0

解得-
2
≤k≤
2

综上分析,直线l的斜率的取值范围是[-
2
,-1)∪(-1,1)∪(1,
2
]
…(14分)
练习册系列答案
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如图:已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1).
(1)求p的值;
(2)求△AOB的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),已知点(1,e)和(e,
3
2
)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,若|AF1|-|BF2|=
6
2
,求直线AF的斜率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

过椭圆
x2
6
+
y2
5
=1
内的一点P(2,-1)的弦,恰好被点P平分,则这条弦所在直线方程(  )
A.y=
5
3
x-
5
6
B.y=
5
3
x-
13
3
C.y=-
5
3
x+
5
6
D.y=
5
3
x+
11
6

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点(1,
3
2
)
到F1、F2两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F1PQ的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

y轴上两定点B1(0,b)、B2(0,-b),x轴上两动点M,N.P为B1M与B2N的交点,点M,N的横坐标分别为XM、XN,且始终满足XMXN=a2(a>b>0且为常数),试求动点P的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为
π
4
的直线与抛物线相交于A、B两点.
(1)求直线AB的方程;
(2)试用p表示A、B之间的距离;
(3)当p=2时,求∠AOB的余弦值.
参考公式:(xA2+yA2)(xB2+yB2)=xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2].

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(B题)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为2
3
,离心率为
3
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)设点A(-1,1),过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,与双曲线x2-y2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(  )
A.
x2
8
+
y2
2
=1
B.
x2
12
+
y2
6
=1
C.
x2
16
+
y2
4
=1
D.
x2
20
+
y2
5
=1

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