Question

11、已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（3）=0，且周期T=4，则方程f（x）=0在x∈[0，10]的根有

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共11个

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Answer 1

分析：由已知函数为奇函数，结合函数的周期为4可得f（0）=0?f（4）=f（8）=0，由f（3）=0?（7）=0，又f（-3）=0?f（1）=f（5）=f（9）=0，结合奇函数及周期又可得f（-2）=-f（2），f（-2）=f（-2+4）=f（2）可得f（2）=0?f（6）=f（10）=0，从而可得．

解答：解：由已知可知f（3）=0，
因为f（x）是R上的奇函数，所以f（-3）=-f（3）=0，f（0）=0
又因为函数的周期为4，即f（x+4）=f（x）
所以f（0）=f（4）=f（8）=0，f（3）=f（7）=0，f（-3）=f（1）=f（5）=f（9）=0，
因为f（-2）=f（2）=-f（2），所以f（2）=0，
则f（2）=f（6）=f（10）=0
所以方程f（x）=0在x∈[0，10]的根有 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
故答案为：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共11个

点评：本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性及函数周期的综合运用，解决本题的关键是熟练掌握函数的各个性质并能灵活运用性质，还要具备一定的综合论证的解题能力．