Question

数列a_n中，a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3（n≥2且n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）设bn=

an+3

2n

，证明{b_{n ^}}是等差数列；
（3）求数列{a_n^}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由数列的递推公式求指定项，令n=2，3代入即可；
（2）由a_n=2a_n-1+2ⁿ+3及bn=

an+3

2n

，只要验证b_n-b_n-1是个常数即可；
（3）根据（2）证明可以求得b_n，进而求得a_n，从而求得s_n．

解答：解：（1）a₂=2a₁+2+3=1，a₃=2a₂²+2³+3=13
（2）bn+1-bn=

an+1+3

2n+1

-

an+3

2n

=

1

2n+1

(an+1-2an-3)=

2n+1

2n+1

=1．
∴数列{b_{n ^}}是公差为1的等差数列．

（3）由（2）得bn=

an+3

2n

=n-1，∴a_n=（n-1）•2ⁿ-3（n∈N^*）
∴s_n=0×2¹+1×2²+…+（n-1）2ⁿ-3n
令T_n=0×2¹+1×2²+…+（n-1）2ⁿ
则2T_n=0×2²+1×2³+…+（n-2）2ⁿ+（n-1）2ⁿ⁺¹
两式相减得：-T_n=2²+2³+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=

4(1-2n-1)

1-2

-(n-1)2n+1=（2-n）•2ⁿ⁺¹-4
∴T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+4
∴s_n=（n-2）2ⁿ⁺¹-3n+4．

点评：考查数列的基本运算，和等差数列的证明方法，错位相减法求和问题，很好，属中档题．