Question

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，其前n项和为S_n，且a₁，a₄，a₁₆成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求{

1

Sn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 (a1+6)2=a₁ （a₁+30），求得a₁=2，从而求得a_n=2n．
（2）先求得 S_n 的解析式，从而求得

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

，再用裂项法求得{

1

Sn

}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是公差为2的等差数列，a₁，a₄，a₁₆成等比数列，
∴(a1+6)2=a₁ （a₁+30），解得 a₁=2，故a_n=2n．
（2）∵S_n =

n(2+2n)

2

=n（n+1），
∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴{

1

Sn

}的前n项和T_n =（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，用裂项法进行数列求和，属于中档题．