Question

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项公式及T_n关于n的表达式．
（Ⅲ）记bn=log(1+2an)Tn，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2010的n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n²+2a_n，a_n＞0，知2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²，所以{2a_n+1}是“平方递推数列”．由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），且2a_n+1＞1，知lg（1+2a_n）＞0，由此能够证明{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）由lg（2a₁+1）=lg5，知lg（2a_n+1）=lg5•2^n-1，所以an=

1

2

(52n-1-1)，由lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=

lg5•(1-2n)

1-2

=(2n-1)lg5，能求出T_n．
（Ⅲ）由bn=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，知Sn=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2[1-(

1

2

)n]=2n-2+2(

1

2

)n由此能求出n的最小值．

解答：证明：（Ⅰ）由条件得：a_n+1=2a_n²+2a_n，a_n＞0．
∴2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²，
∴{2a_n+1}是“平方递推数列”．
由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
且2a_n+1＞1，
∴lg（1+2a_n）＞0，
∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2，
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列．…（3分）
解：（Ⅱ）∵lg（2a₁+1）=lg5，
∴lg（2a_n+1）=lg5•2^n-1，
∴2an+1=52n-1
∴an=

1

2

(52n-1-1)…（5分）
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1），
=

lg5•(1-2n)

1-2

=(2n-1)lg5，
∴Tn=52n-1…（7分）
（Ⅲ）bn=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，
∴Sn=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2[1-(

1

2

)n]
=2n-2+2(

1

2

)n．…（10分）
由S_n＞2010，得2n-2+2(

1

2

)n＞2010，n+(

1

2

)n＞1006．
当n≤1005时，n+(

1

2

)n＜1006；
当n≥1006时，n+(

1

2

)n＞1006．
因此n的最小值为1006．…（13分）

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查对新定义的理解能力．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．