Question

设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(

1

2

)=-1．
（1）求f（2）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式f(x)≥2+f(

3

x-4

)．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，可令m=n=1可求得f（1）=0，再令m=2，n=

1

2

，可求f（2）的值；
（2）为定义法证明函数的单调性，注意步骤；（3）利用已证的单调性把不等式转化为不等式组

x≥ 12 x-4 x＞0 12 x-4 ＞0

求解．

解答：解：（1）对于任意正实数m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）
令m=n=1，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，
又∵f(

1

2

)=-1
再令m=2，n=

1

2

，得f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)
∵f(

1

2

)=-1∴f(2)=1
（2）令0＜x₁＜x₂，则

x 2

x 1

＞1
∵当x＞0时，f(x)＞0∴f(

x 2

x 1

)＞0

∵f(mn)=f(m)+f(n) ∴f(x2)-f(x1)=f(x1• x2 x1 )-f(x1)

=f(x1)+f(

x2

x1

)--f(x1)=f(

x2

x1

)＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1
∴f（4）=2f（2）=2
2+f(

3

x-4

)=f(4)+f(

3

x-4

)=f(

12

x-4

)
∴原不等式可化为f(x)≥f(

12

x-4

)，又∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
∴

x≥ 12 x-4 x＞0 12 x-4 ＞0

∴

-2≤x＜4或x≥6 x＞0 x＞4

∴x≥6

点评：本题为函数的性质及应用，涉及不等式的解法即转化的思想，属基础题．