Question

16．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）证明：函数f（x）在R上是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，即可证明；
（2）利用导数大于0，即可证明．

解答 证明：（1）函数的定义域为R，
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$
∴f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{2（{2}^{-x}+1）}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$
∴f′（x）=-$\frac{{-2}^{x}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0
∴函数f（x）在R上是增函数．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．