Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x²，x+1），$\overrightarrow{b}$=（1-x，m），若函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$在区间（-1，1）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x²（1-x）+m（x+1）=-x³+x²+mx+m，由于函数f（x）在区间（-1，1）上是减函数，可得f′（x）≤0，在区间（-1，1）上成立，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x²（1-x）+m（x+1）=-x³+x²+mx+m，
f′（x）=-3x²+2x+m，
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是减函数，
∴-3x²+2x+m≤0，在区间（-1，1）上成立，
∴m≤（3x²-2x）_min，x∈（-1，1）．
由g（x）=3x²-2x=$3（x-\frac{1}{3}）^{2}$-$\frac{1}{3}$，
当x=$\frac{1}{3}$时，函数g（x）取得最小值-$\frac{1}{3}$．
∴$m≤-\frac{1}{3}$．
∴实数m的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{3}]$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．