Question

已知a、b、c、d∈（0，1）．试比较abcd与a+b+c+d-3的大小，并给出你的证明．

Answer 1

分析：先考虑一个简单的问题，比较ab与a+b-1的大小，事实上，∵ab-（a+b-1）=ab-a-b+1=（a-1）（b-1）＞0，∴ab＞a+b-1．这一探索过程有两方面的作用，一是在方法上是否有借鉴作用，即能否将abcd-（a+b+c+d-1）也类似地进行因式分解呢？经过试探，回答是否定的；二是这个结论可以作为我们继续探索的工具．

解答：解：下面我们来比较abc与a+b+c-2的大小．
∵0＜ab＜1，∴abc=（ab）c＞ab+c-1＞a+b-1+c-1=a+b+c-2，
更进一步，则有abcd=（abc）d＞abc+d-1＞a+b+c+d-3．
∴得证．

点评：对于一个聪明的解题者来说，先考虑问题的简单情形，从容易解决的情况入手，然后再逐步推广到一般的情形，常常会收到意想不到的效果，本例的一般性推广是：若a_i∈（0，1），i=1，2，，n，（n≥2，n∈N₊），则有：a₁a₂••a_n＞a₁+a₂++a_n-n+1．