Question

把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：
设（i、j∈N^*）是位于这个数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，数表中第i行共有2^i-1个正整数．
（1）若a_ij=2013，求i、j的值；
（2）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），试比较A_n与n²+n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据图形结构判断前n行共有多少项，从而判断2013在第几行，第几个数，求得i、j即可；
（2）先求出A_n，利用归纳，猜想、证明的方法比较A_n与n²+n的大小．

解答：解：（1）数表中前n行共有1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1个数，
第i行第一个数是2^i-1，
∴a_ij=2^i-1+j-1，
∵2¹⁰＜2013＜2¹¹，
∴i=11，j=2013-2¹⁰+1=990．
（2）∵A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn=（1+2+2²+…+2^n-1）+[0+1+2+3+…+（n-1）]=2ⁿ-1+

n(n+1)

2

，
∴A_n-（n²+n）=2ⁿ-

n2+3n+2

2

，
当n=1时，2n＜

n2+3n+2

2

，则A_n＜n²+n；
当n=2时，2n＜

n2+3n+2

2

，则A_n＜n²+n；
当n=3时，2n＜

n2+3n+2

2

，则A_n＜n²+n；
当n=4时，2ⁿ＞

n2+3n+2

2

，则A_n＜n²+n；
猜想：当n≥4时，2ⁿ＞

n2+3n+2

2

．
用数学归纳法证明如下：
①当n=4时，2⁴=16＞

42+3×4+2

2

，成立；
②假设当n=k（k≥4）时，成立，
当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞k²3k+2，
∵k²3k+2-

(k+1)2+3(k+1)+2

2

=

2k2+6k+4-(k+1)2-3(k+1)-2

2

=

(k+2)(k-1)

2

＞0，（k≥4）
∴2^k+1＞

(k+1)2+3(k+1)+2

2

，即n=k+1时，成立．
由①②知，n≥4时，2ⁿ＞

n2+3n+2

2

，即A_n＞n²+n．
综上，当n=1、2、3时，A_n＜n²+n；
当n≥4时，A_n＞n²+n．

点评：本题考查了数学归纳法及等差、等比数列的综合问题．