Question

过点A（2，1）作曲线f（x）=

2x-3

的切线l．
（Ⅰ）求切线l的方程；
（Ⅱ）求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S．

Answer 1

分析：（I）欲求在点（2，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）欲求封闭图形的面积，利用定积分的几何意义求面积，由（I）知在点A处的切线方程，只须求出积分的上下限即可，故先利用令f(x)=

2x-3

=0和令y=x-1=0，再结合图象特征即得，最后定积分公式计算即得．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=

1

2x-3

，∴f'（2）=1，
∴切线l的方程为y-1=x-2，即y=x-1．（4分）
（Ⅱ）令f(x)=

2x-3

=0，则x=

3

2

．令y=x-1=0，则x=1．
∴A=

∫

2 1

(x-1)dx-

∫

2 3 2

2x-3

dx=(

1

2

x2-x)

.

2 1

-

1

3

(2x-3)

3

2

.

2 3 2

=

1

6

．（10分）
故封闭图形的面积S=

1

6

．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分的几何意义等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．