Question

经过椭圆

x2

2

+y²=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则

OA

•

OB

等于（　　）

• A、-3
• B、-

  1

  3

• C、-

  1

  3

  或-3
• D、±

  1

  3

Answer 1

分析：先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₁•x₂和x₁+x₂的值，进而根据直线方程求得y₁y₂的值，最后根据向量的计算法则求得答案．

解答：解：由

x2

2

+y²=1，得a²=2，b²=1，c²=a²-b²=1，焦点为（±1，0）．
直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y=x-1．
代入

x2

2

+y²=1得x²+2（x-1）²-2=0，
即3x²-4x=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁•x₂=0，x₁+x₂=

4

3

，y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=1-

4

3

=-

1

3

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0-

1

3

=-

1

3

．
故选B

点评：本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．