Question

设a，b为实数，我们称（a，b）为有序实数对．类似地，设A，B，C为集合，我们称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A，B，C满足|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，且A∩B∩C=∅，则我们称有序三元组（A，B，C）为最小相交（|S|表示集合S中的元素的个数）．
（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；
（Ⅱ）由集合{1，2，3，4，5，6}的子集构成的所有有序三元组中，令N为最小相交的有序三元组的个数，求N的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A={1，2}，B={2，3}，C={1，3}，则满足题意，所以（A，B，C）是一个最小相交的有序三元组．
（Ⅱ）令S={1，2，3，4，5，6}，由题意知，必存在两两不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，
而要确定x，y，z共有6×5×4种方法；对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即可得到最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数N．

解答：解：（Ⅰ）设A={1，2}，B={2，3}，C={1，3}，
则A∩B={2}，B∩C={3}，C∩A={1}，A∩B∩C=∅，且|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1．
所以（A，B，C）是一个最小相交的有序三元组．                     …（4分）
（Ⅱ）令S={1，2，3，4，5，6}，如果（A，B，C）是由S的子集构成的最小相交的有序三元组，
则存在两两不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，
（如图），要确定x，y，z共有6×5×4种方法；

对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，
即它属于集合A，B，C中的某一个或不属于任何一个，则有4³种确定方法．
所以最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数N=6×5×4×4³=7680．…（10分）

点评：此题考查集合的新定义，在新定义下计算集合间的交、并、补运算，这是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．