Question

在△ABC中，点G为中线AD上一点，且AG=

1

2

AD，过点G的直线分别交AB，AC于点E，F，若

AE

=m

AB

，

AF

=n

AC

，则

1

m

+

1

n

的值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：由于三点E，G，F共线，可得存在实数λ使得

AG

=λ

AE

+(1-λ)

AF

．由于D是BC的中点，可得

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)．利用

AE

=m

AB

，

AF

=n

AC

，利用向量相等即可得出．

解答： 解：∵三点E，G，F共线，∴存在实数λ使得

AG

=λ

AE

+(1-λ)

AF

，
∵D是BC的中点，∴

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)．
∵

AE

=m

AB

，

AF

=n

AC

，
∴

AG

=

1

2

AD

=

1

4

AB

+

1

4

AC

=λm

AB

+(1-λ)n

AC

，
∴

λm= 1 4 (1-λ)n= 1 4

，∴m=

1

4λ

，n=

1

4(1-λ)

．
∴

1

m

+

1

n

=4λ+4（1-λ）=4．
故选：D．

点评：本题考查了向量共线定理、向量相等、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．