Question

已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数，e为自然对数的底数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)当a＝－1时，试推断方程|f(x)|＝＋是否有实数解，并说明理由．

Answer 1

(1) －1   (2) 没有，理由见解析

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋＝.
当0<x<1时，f′(x)>0；
当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在区间(0,1)上是增函数，在区间(1，＋∞)上是减函数．
f(x)_max＝f(1)＝－1.
(2)由(1)知当a＝－1时，
f(x)_max＝f(1)＝－1，∴|f(x)|≥1.
令g(x)＝＋，则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，得x＝e，
当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)在区间(0，e)上单调递增；
当x>e时，g′(x)<0，g(x)在区间(e，＋∞)上单调递减．
∴g(x)_max＝g(e)＝＋<1，
∴g(x)<1.∴|f(x)|>g(x)恒成立，
即|f(x)|>＋恒成立．
∴方程|f(x)|＝＋没有实数解．