【题目】如表是一个由n2个正数组成的数表,用aij表示第i行第j个数(i,j∈N),已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列,每一行各数从左到右依次构成等比数列,且公比都相等.已知a11=1,a31+a61=9,a35=48.
(1)求an1和a4n;
(2)设bn= +(﹣1)na
(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Sn .
【答案】
(1)解:设第1列依次组成的等差公差为d,
设第1行依次组成的等比数列的公比为q,
根据题意a31+a61=(1+2d)+(1+5d)=9,
∴d=1,
∴an1=a11+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n,
∵a31=a11+2d=3,
∴a35=a31q4=3q4=48,
∵q>0,
∴q=2,
∵a41=4,
∴a4n=a41qn﹣1=4×2n﹣1=2n+1
(2)解:由bn= +(﹣1)na
(n∈N+)
= +(﹣1)nn
= +(﹣1)nn=
﹣
+(﹣1)nn,
前n项和Sn=1﹣ +
﹣
+…+
﹣
+[﹣1+2﹣3+4﹣5+(﹣1)nn],
当n为偶数时,Sn=1﹣ +
;
当n为奇数时,Sn=Sn﹣1+bn=1﹣ +
+
﹣
﹣n
=1﹣ ﹣
=
﹣
【解析】(1)设第1列依次组成的等差公差为d,设第1行依次组成的等比数列的公比为q,根据题意可以求出d和q,再根据通项公式的定义即可求出;(2)求出bn= +(﹣1)na
(n∈N+)=
+(﹣1)nn=
﹣
+(﹣1)nn,根据裂项相消法和分组,讨论即可求出前n项和.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系),还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为棱AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1E⊥C1F,A1C1⊥B1C1.
(1)求证:DE∥平面A1C1F;
(2)求证:B1E⊥平面A1C1F
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【题目】已知椭圆的中心在原点,离心率等于
,它的一个短轴端点恰好是抛物线
的焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知、
是椭圆上的两点,
是椭圆上位于直线
两侧的动点.
①若直线的斜率为
,求四边形
面积的最大值;
②当运动时,满足
,试问直线
的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】如图,设抛物线的准线
与
轴交于椭圆
的右焦点
为
的左焦点.椭圆的离心率为
,抛物线
与椭圆
交于
轴上方一点
,连接
并延长其交
于点
,
为
上一动点,且在
之间移动.
(1)当取最小值时,求
和
的方程;
(2)若的边长恰好是三个连续的自然数,当
面积取最大值时,求面积最大值以及此时直线
的方程.
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【题目】已知命题 方程
有两个不相等的负实根,
命题 不等式
的解集为
,
(1)若为真命题,求
的取值范围.
(2)若 为真命题,
为假命题,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆 C: 的焦距为2,且过点
,右焦点为
.设A,B 是C上的两个动点,线段 AB 的中点M 的横坐标为
,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q 两点.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设M点纵坐标为m,求直线PQ的方程,并求的取值范围.
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【题目】图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间 上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变
B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变
D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
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【题目】柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据:
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数.
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