Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB为圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．

Answer 1

解：连接OD，
∵DC是圆O的切线，OD为圆半径，
∴OD⊥DC，
∵DA=DC，
∴∠A=∠C，设∠A=∠C=α，
∵△ADO中，OA=OD
∴∠ODA=∠A=α，
∴∠ODC=∠ODA+∠A=2α，
∴在Rt△ODC中，∠ODC+∠C=3α=90°，
∴∠C=α=30°
∴Rt△ODC中，OC=2OD=2OB
∴BC=OB=AB，即AB=2BC．
分析：连接OD，根据DC是圆O的切线，半径OD⊥DC．由DA=DC，可得∠A=∠C，设大小为α，利用等腰△ADO的外角，得到∠ODC=∠ODA+∠A=2α．最后在Rt△ODC中，利用内角和得到∠ODC+∠C=3α=90°，从而∠C=30°，最后利用直角三角形30°角对的边等于斜边的一半，得到Rt△ODC中，OC=2OD=2OB，从而得到BC=AB，即AB=2BC．
点评：本题以圆的切线和等腰三角形为载体，借助于证明线段长度的关系，着重考查了圆的切线的性质、三角形的外角和含有30度的直角三角形的性质等知识点，属于基础题．