Question

【题目】已知命题p：函数f（x）=x3+ax2+x在R上是增函数；命题q：若函数g（x）=ex﹣x+a在区间[0，+∞）没有零点．
（1）如果命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：如果命题p为真命题，

∵函数f（x）=x3+ax2+x在R上是增函数，

∴f′（x）=3x2+2ax+1≥0对x∈（﹣∞，+∞）恒成立

∴

（2）解：g′（x）=ex﹣1≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，

∴g（x）在区间[0，+∞）递增

命题q为真命题g（0）=a+1＞0a＞﹣1

由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，

若p真q假，则

若p假q真，则

综上所述，

【解析】（1）若p为真命题，则在（，）内f'（x）0恒成立；（2）利用导数讨论函数g（x）在[0，+∞）内的单调性，若q为真命题，则g（x）min0；由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p、q一真一假.
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．