Question

18．（Ⅰ）证明：过圆x²+y²=r²上一点Q（x₀，x₀）的切线方程为x₀x+y₀y=r²；
（Ⅱ）已知椭圆C方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}$=1，从椭圆C上一点P向圆x²+y²=1上引两条切线，切点为A，B．当直线AB分别与y轴、x轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系数法，结合直线和圆相切的条件即可证明：过圆x²+y²=r²上一点Q（x₀，x₀）的切线方程为x₀x+y₀y=r²；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，求出过A，B的切线方程进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）当切线的斜率k存在时，设切线方程为y-y₀=k（x-x₀）．
又因为$k=-\frac{x_0}{y_0}$，故切线方程为$y-{y_0}=-\frac{x_0}{y_0}（x-{x_0}）$，
∴${x_0}x+{y_0}y={r^2}$．…（3分）
当k不存在时，切点坐标为（±r，0），切线方程为x=±r，符合${x_0}x+{y_0}y={r^2}$．
综上，切线方程为${x_0}x+{y_0}y={r^2}$．…（6分）
（Ⅱ）设点P坐标为（x_p，y_p），PA，PB是圆x²+y²=1的切线，切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
过点A的圆的切线为x₁x+y₁y=1，过点B的圆的切线为x₂x+y₂y=1．
∵两切线都过P点，
∴x₁x_p+y₁y_p=1，x₂x_p+y₂y_p=1．…（8分）
∴切点弦AB的方程为x_px+y_py=1，
由题知x_Py_P≠0，
∴$M（0，\frac{1}{y_p}）$，$N（\frac{1}{x_p}，0）$，
∴${|{MN}|^2}=\frac{1}{x_p^2}+\frac{1}{y_p^2}=（{\frac{1}{x_p^2}+\frac{1}{y_p^2}}）•（{\frac{x_p^2}{16}+\frac{y_p^2}{4}}）$=$\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}•\frac{x_p^2}{y_p^2}+\frac{1}{4}•\frac{y_p^2}{x_p^2}≥\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{1}{64}•\frac{x_p^2}{y_p^2}•\frac{y_p^2}{x_p^2}}=\frac{9}{16}$，当且仅当$x_P^2=\frac{16}{3}$，$y_P^2=\frac{8}{3}$时取等号，
∴|MN|≥$\frac{3}{4}$，
即|MN|的最小值为$\frac{3}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系是应用，涉及直线和圆相切的问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．