Question

已知函数f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2，
（1）求函数的定义域及a的值；
（2）证明f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）求函数f（x）在[2，5]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用分母不为哦，直接写出定义域，通过f（1）=2，求出a的值；
（2）利用公式的单调性的定义直接证明f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）利用（2）的结果，直接求函数f（x）在[2，5]上的最大值与最小值．

解答： （本小题满分（14分），（1）（4分）；（2）（6分）；（3）4分）
解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，因为f（1）=2，所以1+a=2，即a=1
（2）证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）
=（x₁-x₂）•

x1x2-1

x1x2

．
∵x₁＜x₂，且x₁x₂∈（1，+∞），
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数．
（3）由（2）知，f（x）在[2，5]上的最大值为f（5）=

26

5

，最小值为f（2）=

5

2

．

点评：本题考查函数的定义域的求法，单调性的判断与证明，单调性的应用，考查计算能力．