Question

9．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个非零向量．
（2）若$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，求证：A，B，C三点共线；
（2）若$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow{b}$=（2，1），t∈R，|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理即可得出．
（2）利用向量数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，
设$\overrightarrow{OA}$=$x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$，
∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=x（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+y（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$），
整理为：（2-3x-y）$\overrightarrow{a}$+（-1-x+3y）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个非零向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-3x-y=0}\\{-1-x+3y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，
∴A，B，C三点共线．
（2）∵$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow{b}$=（2，1），t∈R，
∴$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$=（-1+2t，1+t）．
|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（-1+2t）^{2}+（1+t）^{2}}$=$\sqrt{5{t}^{2}+2t+2}$=$\sqrt{5（t+\frac{1}{5}）^{2}+\frac{9}{5}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．当t=-$\frac{1}{5}$时，取等号．
∴|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|的最小值是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．