Question

已知椭圆，离心率为，F₁，F₂分别为其左右焦点，椭圆上点P到F₁与F₂距离之和为4，
（1）求椭圆C₁方程．
（2）若一动圆过F₂且与直线x=-1相切，求动圆圆心轨迹C方程．
（3）在（2）轨迹C上有两点M，N，椭圆C₁上有两点P，Q，满足与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN面积最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，由此能求出椭圆C₁方程．
（2）设动圆圆心C（x，y），由动圆过的右焦点F₂（1，0），且与直线x=-1相切，知，由此能求出动圆圆心轨迹C方程．
（3）当直线斜率不存在时，|MN|=4，SPMQN=8；当直线斜率不存在时，设直线MN的方程为：y=k（x-1），直线PQ的方程为y=（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），由，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由抛物线定义可知：|MN|=|MF₂|+|NF₂|=4+，由此能求出四边形PMQN面积的最小值．
解答：解：（1）∵椭圆，离心率为，
F₁，F₂分别为其左右焦点，椭圆上点P到F₁与F₂距离之和为4，
∴，解得a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C₁方程为．
（2）设动圆圆心C（x，y），
∵动圆过的右焦点F₂（1，0），且与直线x=-1相切，
∴，
整理，得动圆圆心轨迹C方程为y²=4x．
（3）当直线斜率不存在时，|MN|=4，
此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，
从而SPMQN=|MN|•|PQ|=×4×4=8，
设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），
直线PQ的方程为y=（x-1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由抛物线定义可知：
|MN|=|MF₂|+|NF₂|=x₁+1+x₂+1
=+2=4+，
由，消去y得（3k²+4）x²-8x+4-12k²=0，
从而|PQ|=|x3-x4|=，
∴S_PMQN=|MN|•|PQ|=|MN|•|PQ|
=（4+）•
=24•，
令1+k²=t，∵k＞0，则t＞1，
则S_PMQN=
=
=．
因为3--=4-（1+）²∈（0，3），
所以S_PMQN=＞8，
所以四边形PMQN面积的最小值为8．
点评：本题考查椭圆方程和轨迹方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．