Question

已知数{a_n}的各项均为正整数，且满足a_n+1=a_n²-2na_n+2，a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推测{a_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）设，是否存在最大的整数m，使得对任意正整数n，均有若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别把n=5，4，3，2代入a_n+1=a_n²-2na_n+2，分别求出a₁=3，a₂=5，a₃=7，a₄=9，从而猜想：a_n=2n+1．
（2）=
而对于任意n∈N^*=．数列T_n是递增数列，T_n的最小值为T₁₌，由此可求出存在最大的整数7，使得对任意正整数n，均有T_n＞成立．
解答：解：（1）由a₅=11，得11=a₄²-8a₄+2，解得a₄=9或a₄=-1（舍去）
由a₄=9，得9=a₃²-6a₃+2，解得a₃=7或a₃=-1（舍去）
由a₃=7，得7=a₂²-4a₂+2，解得a₂=5或a₂=-1（舍去）
由a₂=5，得5=a₁²-2a₁+2，解得a₁=3或a₁=-1（舍去）∴a₁=3，a₂=5，a₃=7，a₄=9
猜想：a_n=2n+1

（2）==T_n
=c₁+c₂++c_n
=
=

而对于任意n∈N^*=
∴数列T_n是递增数列
∴T_n的最小值为T_1⁼
要使T_n＞对任意n∈N^•总成立，只要T₁＞即＜，∴m＜8
又m∈N^•，因此存在最大的整数7，使得对任意正整数n，均有T_n＞成立
点评：本题考查数列和不等式的综合应用题，解题时要注意公式的灵活运用，合理地进行等价转化．