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已知函数f(x)=
x+1
x2+3
,x∈[0,a](a>0)

(1)当a=2时,求函数f(x)的最大值;
(2)函数f(x)的值域恰为[
1
3
1
2
]
,试求出所有满足条件的自然数a所构成的集合.
(1)f(x)=
x+1
x2-1+4
=
1
x-1+
4
x+1
=
1
x+1+
4
x+1
-2
1
2×2-2
=
1
2
?x=1
时等号成立(4分)
即当x=1∈[0,2]时f(x)的最大值为
1
2
(6分)
(2)假设存在这样的自然数a满足条件,
由(1)知当x=1时,ymax=
1
2
则1∈[0,a];所以a≥1(18分)
又f(x)在[0,1]上单增,在[1,a]上单减;且f(0)=
1
3

所以只需f(a)=
a+1
a2+3
1
3
(11分)
解得0≤a≤3
又a≥1且a为自然数,所以a构成的集合为{1,2,3}.(13分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在实数a,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2,若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型:022

已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.已知函数f(x)=x2,x∈[-1,4]为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,则k的值是_________.

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

已知函数f(x)、g(x),下列说法正确的是( )
A.f(x)是奇函数,g(x)是奇函数,则f(x)+g(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)是偶函数
C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)一定是奇函数或偶函数
D.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)可以是奇函数或偶函数

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