Question

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
且满足2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC．
（1）证明：a²，b²，c²成等差数列且0＜B≤

π

3

；
（2）求函数y=2

3

sin2B+sin(2B+

π

3

)的最大值．

Answer 1

分析：（1）将2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC中的正切化正弦，可得 2sinAsinCcosB=sin²B，利用正弦定理和余弦定理可得a²+c²=2b²，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2

4ac

，再利用基本不等式可证0＜B≤

π

3

；
 （2）利用降幂公式与辅助角公式将y=2

3

sin2B+sin(2B+

π

3

)化为y=sin(2B-

π

3

)+

3

，再由0＜B≤

π

3

得-

π

3

＜2B- 

π

3

≤

π

3

，其最大值可求．

解答：解：（1）∵2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC．
∴2

sinAsinC

cosAcosC

=

sinB

cosB

(

sinA

cosA

+

sinC

cosC

)=

sinB

cosB

sin(A+C)

cosAcosC

∴2sinAsinCcosB=sin²B∴2accosB=b²，
∴a²+c²-b²=b²∴a²+c²=2b²
∴a²，b²，c²成等差数列
     由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2

4ac

．
     因为a²+c²≥2ac，∴cosB≥

1

2

．
     由0＜B＜π，得0＜B≤

π

3

  （2）y=2

3

1-cos2B

2

+sin2Bcos

π

3

+cos2Bsin

π

3

=

1

2

sin2B-

3

2

cos2B+

3

=sin(2B-

π

3

)+

3

∵0＜B≤

π

3

∴-

π

3

＜2B-

π

3

≤

π

3

，
∴-

3

2

＜sin(2B-

π

3

)≤

3

2

，
∴y∈(

3

2

，

3 3

2

]，
∴ymax=

3 3

2

点评：本题考查数列与三角函数的综合，重点考查正、余弦定理、等差数列的概念及正弦函数的性质，解决的关键是掌握好上述内容，并灵活运用之，属于难题．