Question

求证：(1)平行六面体的各对角线交于一点，并且在这一点互相平分；

(2)对角线相等的平行六面体是长方体．

(1)已知：平行六面体AC₁；

求证：AC₁、BD₁、CA₁、DB₁交于一点且互相平分．

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵AA1BB1，BB1CC1， ∴AA1CC1． ∴AA1C1C是平行四边形． ∴CA1与AC1相交，且互相平分． 设交点为O，即CA1过AC1的中点O． 同理可证BD1与AC1、DB1与AC1也相交，且互相平分，交点也是O． ∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一点，且互相平分． (2)已知：平行六面体AC1，对角线A1C、B1D、C1A、D1B相等； 求证：平行六面体AC1是长方体． 证明：∵平行六面体AC1的对角面A1C1CA、B1D1DB都是平行四边形，且它们的对角线A1C、B1D、C1A、D1B都相等， ∴对角面A1C1CA、B1D1DB都是矩形． 由此可得CC1⊥A1C1，BB1⊥B1D1． 又BB1∥CC1，∴BB1⊥A1C1， ∴BB1⊥平面A1C1， ∴平行六面体A1C是直平行六面体． 同理可证CB⊥平面A1B，则BC⊥AB． ∴平行四边形ABCD是矩形． ∴直平行六面体AC1是长方体． 点评：证明平行六面体对角线互相平分就是证O是各对角线的中点．当平行六面体的对角线相等时，平行六面体即为长方体．