Question

【题目】已知f（n）=1+ ，g（n）= ﹣ ，n∈N* ．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；

当n=2时， ， ，

所以f（2）＜g（2）；

当n=3时， ， ，

所以f（3）＜g（3）

（2）解：由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：

①当n=1，2，3时，不等式显然成立．

②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，

即即 ＜ ，

那么，当n=k+1时， ，

因为 ，

所以 ．

由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立

【解析】（1）根据已知 ， ，n∈N* ． 我们易得当n=1，2，3时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到猜想f（n）≤g（n）；（2）但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f（n）≤g（n）当n=1时成立，再假设不等式f（n）≤g（n）当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式f（n）≤g（n）也成立，最后得到不等式f（n）≤g（n）对于所有的正整数n成立；