Question

在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，b=

2

，则△ABC面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．

解答： 解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

4

，
由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，即2=a²+c²-

2

ac，
∴2+

2

ac=a²+c²≥2ac，即ac≤

2

2- 2

=2+

2

，
当且仅当a=c，即a=c=

2+ 2

时取“=”，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

2

4

ac，
∴△ABC面积的最大值为

1+ 2

2

．
故答案为：

1+ 2

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．