Question

对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A（a，2a）、B（4a，4a）（其中a为正常数），
（1）求抛物线C的方程；
（2）设动点T（m，0）（m＞a），直线AT、BT与抛物线C的另一个交点分别为A₁、B₁，当m变化时，记所有直线A₁B₁组成的集合为M，求证：集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。

Answer 1

解：（1）当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程y²=2px，
∵，
∴p=2a，
∴y²=4ax；
当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程x²=2py，
∵，
∴方程无解，
∴抛物线不存在。
（2）设A₁（as²，2as）、B₁（at²，2at），T（m，0）（m＞a），
∵，
∴，
∴as²+（m-a）s-m=0，
∵（as+m）（s-1）=0，
∴，
∴A₁（，-2m），
∵，
∴，
∵2at²+（m-4a）t-2m=0，
∴（2at+m）（t-2）=0，
∴t=，
∴B₁（，-m），
∴的直线方程为y+2m=，
∵直线的斜率为在（a，+∞）单调，
∴所以集合M中的直线必定相交，
∵直线的横截距为在（a，+∞）单调，纵截距为在（a，+∞）单调，
∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。