Question

22.对任意函数f(x)，xD，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x₀D，经数列发生器输出x₁=f(x₀);

②若x₁D，则数列发生器结束工作；若x₁D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f(x₁)，并依此规律继续下去.现定义f(x)=.

(1)若输入x₀=，则由数列发生器产生数列{x_n}，请写出数列{x_n}的所有项；

(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x₀的值；

(3)是否存在x₀，在输入数据x₀时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

22.

［解］(1)∵f(x)的定义域D=(－，－1)∪(－1，+)，

∴数列{x_n}只有三项：x₁=，x₂=，x₃=－1.                      

 

(2)∵f(x)=，即x²－3x+2=0，

∴x=1，或x=2.

 

即当x₀=1或2时，x_n+1=.

 

故当x₀=1时，x_n=1；当x₀=2时，x_n=2 (nN).          

 

(3)［证法一］设x_n<0 (nN).

 

由x₁=，得－1<x₀<，