Question

6．数列{a_n}是等比数列，若a₂=1，a₅=$\frac{1}{8}$，设S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，若3S_n≤m²+2m对任意n∈N^*恒成立，则m的取值范围为（　　）

• A． -4≤m≤2
• B． m≤-4或m≥2
• C． -2≤m≤4
• D． m≤-2或m≥4

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}是首项a₁=2，公比q=$\frac{1}{2}$的等比数列，求出通项公式，可得数列{a_na_n+1 }是公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，利用等比数列的前n项和公式 求出a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1的最大值，利用3S_n≤m²+2m对任意n∈N^*恒成立，即可求出m的取值范围．

解答 解：由数列{a_n}是等比数列，a₂=1，a₅=$\frac{1}{8}$，可得公比q=$\frac{1}{2}$，首项a₁=2，
∴a_n=2^2-n，a_n+1=2^1-n，∴a_na_n+1 =2^3-2n，∴a₁a₂=2，
故数列{a_na_n+1 }是公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1 =$\frac{2（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$＜$\frac{8}{3}$，
∵3S_n≤m²+2m对任意n∈N^*恒成立，
∴8≤m²+2m，
∴m≤-4或m≥2．
故选：B．

点评 本题考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，判断数列{a_na_n+1 }是公比为4的等比数列，是解题的关键．