Question

正四棱锥相邻侧面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，则2cosα+cos2β的值是（　　）

• A．-1
• B．1
• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，作出两个二面角的平面角，利用勾股定理、余弦定理和二倍角的余弦公式等解三角形的知识求解即可．

解答：解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，如图
过S做SE⊥AB与E，SO⊥底面ABCD与O，连EO，则∠SEO即为侧面与底面所成二面角的平面角，即为β，
在三角形SEO中，SE²=b2-

1

4

a2，OE=

a

2

，
∴cos²β=

1 4 a2

b2- 1 4 a2

，cos2β=2cos²β-1=

1 2 a2

b2- 1 4 a2

-1，
过B做BH⊥SA与H，连CH，由△SAB≌△SAC，所以CH⊥SA，则角BHC即为两个侧面所成的二面角的平面角，即α，
在△BCH中，BC=a，BH=CH=

a b2- 1 4 a2

b

，
由余弦定理可得cosα=

- 1 4 a2

b2- 1 4 a2

，
∴2cosα+cos2β=2（cosα+cos²β ）-1=0-1=-1
故选A

点评：本题考查二面角的做法和求解、勾股定理、余弦定理和二倍角的余弦公式等解三角形知识，考查空间想象能力和运算能力．