Question

双曲线C的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．已知|

OA

|=2|

FA

|，且

BF

与

FA

同向．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）设AB被双曲线C所截得的线段的长为4，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析：（1）作出示意图如图所示，设渐近线y=

b

a

x的倾斜角为α，可得∠FOA=α且∠OFA=90°+α，根据|

OA

|=2|

FA

|在△OFA中利用根据正弦定理，算出cosα=2sinα得tanα=

1

2

，从而算出a=2b，即可算出该双曲线的离心率；
（2）根据题意设双曲线的方程为x²-4y²=4b²，直线AB方程为y=-2（x-

5

b），联解消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系与弦长公式列式，结合双曲线被AB截得的弦长为4建立关于b的等式，解出b的值即可得到双曲线C的方程．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），设渐近线y=

b

a

x的倾斜角为α，则∠BOF=∠FOA=α，
由BF⊥OB，可得∠OFA=90°+α，
∵△OFA中，|

OA

|=2|

FA

|，
∴根据正弦定理

| OA |

sin∠OFA

=

| AF |

sin∠FOA

，得sin∠OFA=2sin∠FOA，
即sin（90°+α）=2sinα，可得cosα=2sinα，
∴tanα=

sinα

cosα

=

1

2

，即

b

a

=

1

2

，得a=2b，c=

a2+b2

=

5

b，
因此，双曲线C的离心率e=

c

a

=

5 b

2b

=

5

2

；
（2）由（1）得a=2b，双曲线的方程可化为x²-4y²=4b²…①
设l₁的斜率为

b

a

=

1

2

，可得直线AB的斜率k=-2，得直线AB的方程为y=-2（x-c），
即y=-2（x-

5

b），…②
将②代入①并化简，得15x²-32

5

bx+84b²=0
设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则
 x₁+x₂=

32 5

15

b，x₁x₂=

84b2

15

…③
∵AB被双曲线所截得的线段长为l=

1 +(-2)2

•|x₁-x₂|=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

 
∴将③式代入，并可得l=

5[( 32 5 15 b)2-4× 84b2 15 ]

=

4b

3

∵根据已知条件得l=4，∴

4b

3

=4，解得b=3，从而得到a=6．
因此，所求双曲线的方程为

x2

36

-

y2

9

=1．

点评：本题给出双曲线两条渐近线满足的条件，求双曲线的离心率并在指定条件下求双曲线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．