Question

已知直线l：4x-2y+5=0与x轴，y轴分别交于A，B两点，矩阵M=

3 a b -1

所对应的变换为T_M（a，b∈R）．
（1）求点A，B在T_M作用下所得到的点A'，B'的坐标；
（2）若变换T_M把直线l变换为自身，求M．

Answer 1

分析：（1）先求得A（0，

5

2

），B（-

5

4

，0），再设A′（m，n ），B′（m′，n′）根据矩阵的变换得

m n

=

3 a b -1

0 5 2

 =

5a 2 - 5 2

，

m′ n′

=

3 a b -1

- 5 4 0

 =

- 15 4 - 5b 4

从而求得点A'，B'的坐标；
（2）首先分析题目已知 M=[

3 a b -1

]所对应的变换T_M把直线l变换为自身，故可根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b即可．

解答：解：（1）A（0，

5

2

），B（-

5

4

，0），设A′（m，n ），B′（m′，n′）
则

m n

=

3 a b -1

0 5 2

 =

5a 2 - 5 2

m′ n′

=

3 a b -1

- 5 4 0

 =

- 15 4 - 5b 4

∴A′（

5a

2

，-

5

2

），B′（-

15

4

，-

5b

4

）．
（2）在直线l上任取一点P（x，y），设点P在T_M的变换下变为点P′（x′，y′），
则[

3 a b -1

][

x

y

]=[

x′

y′

]，

x′=3x+ay y′=bx-y

，所以点P′（3x+ay，bx-y），
∵点P′在直线l上，∴4（3x+ay）-2（bx-y）+5=0，即（12-2b）x+（4a+2）y+5=0，
∵方程（12-2b）x+（4a+2）y+5=0即为直线l的方程4x-2y+5=0，
∴

12-2b=4 4a+2=-2

，解得

a=-1 b=4

．
∴M=

3 -1 4 -1

．

点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法．