Question

在数列中，对于任意，等式：恒成立，其中常数．
（1）求的值；         （2）求证：数列为等比数列；
（3）如果关于的不等式的解集为，试求实数、的取值范围．

Answer 1

（1），（2）当时，，   ①得 ②将①，②两式相减，得, 化简，得，其中，因为，所以，其中．因为 为常数，所以数列为等比数列（3），

解析试题分析：（Ⅰ）　因为，       
所以，，            
解得 ，．          3分
（Ⅱ）当时，由，   ①
得，           ②
将①，②两式相减，得,  
化简，得，其中．         5分
因为，所以，其中．      6分
因为 为常数，   
所以数列为等比数列．    8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，     9分
所以，
又因为，所以原不等式可化简为，1 0分
当时，不等式，
由题意知，不等式的解集为，
因为函数在上单调递减，
所以只要求 且即可，
解得；   12分
当时，不等式，
由题意，要求不等式的解集为，
因为，
所以如果时不等式成立，那么时不等式也成立，
这与题意不符，舍去．
综上所述：，．        14分
考点：数列求通项，等比数列的判定及不等式与函数的转化
点评：判定数列是等比数列常采用定义法，即判定相邻两项之比是否为常数；由数列前n项和求通项采用关系式，第三问的不等式恒成立问题常转化为函数最值问题，这种转化思路经常用到