设等比数列的首项为,公比为(为正整数),且满足是与的等差中项;数列满足().
(1)求数列的通项公式;
(2)试确定的值,使得数列为等差数列;
(3)当为等差数列时,对每个正整数,在与之间插入个2,得到一个新数列. 设是数列 的前项和,试求满足的所有正整数.
(Ⅰ);(Ⅱ) ;(Ⅲ)
解析试题分析:(Ⅰ)由是与的等比中项可得,根据等比数列基本量可得到关于的方程,从而求出,由 得到数列的通项公式; (Ⅱ)由题中所给关于表达式化简得用表示的表达式,即,这样可联想到去求出,利用等差中项可求出的值,并由此求出的表达式,最后根据求的表达式结合等差数列的定义去证明它是一个等差数列; (Ⅲ)由(Ⅰ)知数列的通项公式,由(Ⅱ)知数列的通项公式,结合题中要求分析得:, ,则可得出数列的大体如下:,可见数列的前三项均为,由此可验证的具体情况,可得其中符合题中要求,当时,分析不可能为,因为前面的永大于,那么要存在肯定为,这样就可得到关于一个假设的等式,并可化简得关于的表达式,根据特点可设出对应的函数,最后由导数在函数中的运用去判断出在上函数恒为正.
试题解析:解:(Ⅰ)因为,所以,
解得(舍),则 3分
又,所以 5分
(Ⅱ)由,得,
所以,
则由,得 8分
而当时,,由(常数)知此时数列为等差数列 10分
(Ⅲ)因为,易知不合题意,适合题意 11分
当时,若后添入的数2,则一定不适合题意,从而必是数列中的
某一项,则,
所以,即 13分
记,则,
因为,
所以当时,,又,
从而
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列是首项为,公比的等比数列.设,,数列满足;
(Ⅰ)求证:数列成等差数列;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)若对一切正整数恒成立,求实数的取值范围.
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