Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A，B两点．
（1）求证：“如果直线l过点（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命题．
（2）写出（1）中命题的逆命题（直线l与抛物线y²=2x相交于A，B两点为大前提），判断它是真命题还是假命题，如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，则只需要举出一个反例说明即可．

Answer 1

考点：四种命题

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：（1）点A，B在抛物线y²=2x上，所以可设点A（

y12

2

，y1），B（

y22

2

，y2），而直线l的斜率分存在和不存在两种情况，不存在时可求出A，B的坐标，并容易得到

OA

•

OB

=3．当存在斜率时，因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，并设直线方程为y=k（x-3），联立抛物线方程便可得到：ky²-2y-6k=0，根据韦达定理便可求出y₁y₂=-6，而

OA

•

OB

=

y12y22

4

+y1y2=3，这样便得到该命题是真命题；
（2）逆命题为：若

OA

•

OB

=3，则直线l过点（3，0），根据（1）知

OA

•

OB

=

y12y22

4

+y1y2=3，这样可解出y₁y₂=2，或-6，所以可取y₁=1，y₂=2，这样可写出A，B的坐标，从而求出l的方程，容易判断点（3，0）不满足该方程，所以说明该逆命题为假命题．

解答： 解：（1）证明：设A(

y12

2

，y1)，B(

y22

2

，y2)；
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，A（3，

6

），B（3，-

6

），∴

OA

•

OB

=3；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），k≠0；
由

y2=2x y=k(x-3)

得ky²-2y-6k=0，则y₁y₂=-6；
∴

y12

2

•

y22

2

=9，∴

OA

•

OB

=3；
综上，“如果直线l过点（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命题；
（2）由题可知，（1）中命题的逆命题是：“直线l交抛物线y²=2x于A，B两点，如果

OA

•

OB

=3，那么直线l过点（3，0）”；
该命题是个假命题，说明如下：
设A（

y12

2

，y1），B（

y22

2

），则有

y12y22

4

+y1y2=3，所以解得y₁y₂=2，或-6；
所以取y₁=1，y₂=2，则A（

1

2

，1），B（2，2），∴直线AB的方程为：y=

2

3

x+

2

3

，显然（3，0）不在该直线上；
∴（1）中命题的逆命题是假命题．

点评：考查抛物线的标准方程，直线的点斜式方程，韦达定理，以及向量数量积的坐标运算，由两点的坐标求直线的斜率．