Question

已知数列单调递增,且各项非负.对于正整数,若任意的,仍是中的项,则称数列为“项可减数列”.

(Ⅰ)已知数列是首项为2,公比为2的等比数列,且数列是“项可减数列”,试确定的最大值.

(Ⅱ)求证:若数列是“项可减数列”,则其前项的和.

(Ⅲ)已知是各项非负的递增数列,写出(Ⅱ)的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.

Answer 1

 (Ⅰ) 解:设,则,

   易得,   即数列一定是“2项可减数列” …………………2分

   但因为,所以的最大值为2……………………………………4分

(Ⅱ)证明:因为数列是“项可减数列”,所以必定是数列中的项,

而是递增数列,,

所以必有………………………………6分

 故

, 所以,即……………………………8分

又由定义知,数列也是“t项可减数列”(),

所以…………………………………………………………………………… 9分

(Ⅲ)解:(Ⅱ)的逆命题为:已知数列为各项非负的递增数列,若其前项的和满足

,则该数列一定是“项可减数列” ………………………………………10分

该逆命题为真命题…………………………………………………………………………………………11分

理由如下:因为,所以当时,,两式相减,

得,即 (*) …………………………12分

则当时,有  (**),由(**)－(*),得……………13分

又,所以,故数列是首项为0的递增等差数列………………………… 14分

设公差为,则

对于任意的,……………………………………………15分

因为,所以仍是中的项,故数列是“项可减数列”……16分