Question

已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（　　）

• A．1＜x＜5
• B．

  5

  ＜x＜

  13

• C．0＜x＜

  5

• D．

  13

  ＜x＜5

Answer 1

分析：根据三角形为锐角三角形，得到三角形的三个角都为锐角，得到三锐角的余弦值也为正值，分别设出3和x所对的角为α和β，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为α和β都为锐角，得到其值大于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围．

解答：解：∵三角形为锐角三角形，
∴三角形的三个内角都为锐角，
则设边长为3所对的锐角为α，根据余弦定理得：cosα=

22+x2-32

4x

＞0，
即x²＞5，解得x＞

5

或x＜-

5

（舍去）；
设边长为x所对的锐角为β，根据余弦定理得：cosβ=

22+32-x2

12

＞0，
即x²＜13，解得0＜x＜

13

，
则x的取值范围是

5

＜x＜

13

．
故选B

点评：此题考查了余弦定理，熟练运用余弦定理是解本题的关键．