Question

（2012•山东）已知向量

m

=（sinx，1），

n

=（

3

Acosx，

A

2

cos2x）（A＞0），函数f（x）=

m

•

n

的最大值为6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移

π

12

个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，

5π

24

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；
（Ⅱ）通过将函数y=f（x）的图象像左平移

π

12

个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，通过x∈[0，

5π

24

]求出函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=

m

•

n

=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x
=A（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=Asin（2x+

π

6

）．
因为A＞0，由题意可知A=6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+

π

6

）．
将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位后得到，
y=6sin[2（x+

π

12

）+

π

6

]=6sin（2x+

π

3

）．的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，
纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+

π

3

）的图象．因此g（x）=6sin（4x+

π

3

）．
因为x∈[0，

5π

24

]，所以4x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

6

]，4x+

π

3

=

π

2

时取得最大值6，4x+

π

3

=

7π

6

时函数取得最小值-3．
故g（x）在[0，

5π

24

]上的值域为[-3，6]．

点评：本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力．