Question

函数f（x）=

ax (x＜0) (a-3)x+4a (x≥0)

满足[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0对任意定义域中的x₁，x₂成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：函数是一个分段函数，函数f（x）在其定义域内是单调减函数，故函数在每一段上是减函数，在整个定义域内也是减函数，
故当x＜0时，0＜a＜1． 当x≥0时，a-3＜0，且还有a⁰≥0+4a．

解答：解：∵[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0对任意定义域中的x₁，x₂成立，
∴函数f（x）在其定义域内是单调减函数．又 f（x）=

ax (x＜0) (a-3)x+4a (x≥0)

，
∴当x＜0时，0＜a＜1． 当x≥0时，a-3＜0，a＜3．
且还有a⁰≥0+4a，a≤

1

4

． 综上，0＜a≤

1

4

，
故答案为：（0，

1

4

]．

点评：本题考查减函数的定义，指数函数、一次函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想．