Question

【题目】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点． （Ⅰ）证明：AC⊥D1E；
（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：连接BD ∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，
又AC平面ABCD，∴D1D⊥AC
在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC
又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，
而D1E平面BB1D1D，∴AC⊥D1E
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），
∴
设平面AD1E的法向量为 ，则 ，即
令z=1，则
∴
∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．
设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则
∵BP∥平面AD1E
∴ ，即 ，
∴2（t﹣1）+1=0，解得 ，
∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长 ．．

【解析】（I）利用线面垂直的判定定理，证明AC⊥平面BB1D1D，即可得到AC⊥D1E；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定面AD1E的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DE与平面AD1E所成角的正弦值；（Ⅲ）利用BP∥平面AD1E，可得 ，利用向量的数量积公式，可得结论．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的性质，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题．